Πώς αφανίζεις μια επιδημία: Τα μαθηματικά μοντέλα και η χρήση τους στον κορωνοϊό

Τα μαθηματικά μοντέλα ως σημαντικό «όπλο» στη φαρέτρα της επιστήμης για την αντιμετώπιση των λοιμωδών νοσημάτων. Τι αναφέρει σε πρόσφατο άρθρο του ο Μπιλ Γκέιτς.

Η πρόβλεψη της εξέλιξης μιας επιδημίας έχει πολύ μεγάλη σημασία προκειμένου τα συστήματα υγείας των κρατών που πλήττονται να λάβουν τα κατάλληλα μέτρα. Οι Καθηγητές της Ιατρικής Σχολής του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών Δημήτρης Παρασκευής και Θάνος Δημόπουλος συνοψίζουν δεδομένα που αφορούν στη χρήση μαθηματικών μοντέλων.

Σε πρόσφατο άρθρο που δημοσιεύεται στο πολύ έγκριτο περιοδικό Science παρουσιάζεται η σημασία των μαθηματικών μοντέλων για τη μελέτη και πρόληψη λοιμωδών νοσημάτων. Στη σύγχρονη ιστορία του ανθρώπου έχουν συμβεί αρκετές πανδημίες λοιμωδών νόσων όπως  για παράδειγμα οι πανδημίες της χολέρας, της γρίπης, της φυματίωσης καθώς και του HIV που τα τελευταία 200 χρόνια έχουν προκαλέσει τουλάχιστον 100 εκατομμύρια θανάτους ανά την υφήλιο.

Η μελέτη των επιδημιών που αφορά χαρακτηριστικά όπως το μέγεθος και η χρονική διάρκεια μιας επιδημίας, καθώς και η αποτελεσματικότητα των προληπτικών παρεμβάσεων, έχει δημιουργήσει ένα πεδίο έρευνας που περιλαμβάνει μαθηματικά μοντέλα λοιμωδών νοσημάτων. Οι μέθοδοι αυτές  βρίσκουν εφαρμογή στην εκτίμηση σημαντικών παραμέτρων των επιδημιών, όπως ο συνολικός αριθμός των μεταδόσεων σε διαφορετικές χρονικές περιόδους, ή η αποτελεσματικότητα των προληπτικών παρεμβάσεων. Επίσης μπορεί να εκτιμηθεί σε διαφορετικές χρονικές περιόδους, το ποσοστό των ατόμων που δεν έχει προσβληθεί και αποτελούν τον πληθυσμό σε κίνδυνο για μόλυνση με το νόσημα (Sensitive: S), το ποσοστό που έχει προσβληθεί και είναι μολυσματικοί (Infectious: I), και το ποσοστό που έχει αναρρώσει και έχει αναπτύξει ανοσία (Recovered: R). Tα ποσοστά αυτά παρέχουν χρήσιμες πληροφορίες για την εξέλιξη της επιδημίας στο χρόνο.

Μια επιδημία οδηγείται σε αφανισμό όταν ένα μεγάλο ποσοστό των «επαφών», των ανθρώπων δηλαδή που έχουν στενή προσωπική επαφή με τα άτομα που πάσχουν, αναπτύξουν ανοσία για το νόσημα. Το ελάχιστο ποσοστό των άνοσων ατόμων σε ένα πληθυσμό που καθορίζει ότι ένα νόσημα δεν μπορεί να προκαλέσει επιδημία σε αυτόν τον πληθυσμό, χαρακτηρίζεται ως «ανοσία αγέλης». Αυτό το ποσοστό μπορεί να εκτιμηθεί μέσω μαθηματικών μοντέλων και χρησιμοποιείται, επίσης, για να καθορίσει τη στρατηγική του μαζικού εμβολιασμού σε έναν πληθυσμό.

Η μελέτη της δυναμικής εξάπλωσης του SARS-CoV-2 μέσω εφαρμογής μαθηματικών μοντέλων, αποκάλυψε κρίσιμες πληροφορίες αναφορικά με τη μολυσματικότητα του ιού καθώς και το κρίσιμο ποσοστό που απαιτείται για την ανοσία αγέλης. Αυτές οι εκτιμήσεις βασίζονται κυρίως στην παράμετρο του βασικού αριθμού αναπαραγωγής R0  που ορίζεται ως ο μέσος αριθμός μεταδόσεων που προκύπτουν από κάθε άτομο που έχει προσβληθεί από το νόσημα.

Το R0 αποτελεί σημαντικό κριτήριο το αν υπάρχει πιθανότητα, ή όχι για ένα νόσημα να προκαλέσει αυξανόμενο ρυθμό μεταδόσεων (επιδημία) σε ένα πληθυσμό. Συγκεκριμένα αν το R0 είναι μεγαλύτερο του 1 τότε το νόσημα μπορεί να προκαλέσει επιδημία, ενώ αν το R0 είναι μικρότερο του 1 η πιθανότητα να συμβεί επιδημία είναι εξαιρετικά μικρή.

Όπως αναφέρει ο Bill Gates σε πρόσφατο άρθρο του (23 Απριλίου 2020), αν ο αρχικός αριθμός κρουσμάτων σε μια κοινότητα ήταν 100 και το R0 ήταν, 2 μετά από 40 ημέρες θα καταλήγαμε σε 3.200 κρούσματα, ενώ αν το  R0 ήταν 0,7 ο αριθμός των περιστατικών με το νόσημα μετά από 40 ημέρες θα ήταν μόλις 17. Στην πρώτη περίπτωση όταν το R0 είναι 2 και ο χρόνος αναδιπλασιασμού (doubling time) είναι ίσος με 8 ημέρες, αυτό συνεπάγεται ότι σε διάστημα 40 ημερών ο αριθμός των περιστατικών θα αυξηθεί 32 φορές, ενώ αντίστοιχα αν το R0 ισούται με 0,7 ο αριθμός των κρουσμάτων θα μειώνεται με αντίστοιχο ρυθμό και μετά από 40 ημέρες θα έχει μειωθεί στο ένα έκτο του αρχικού αριθμού. Γίνεται αντιληπτό ότι μικρές διαφορές στο R0 έχουν μεγάλη επίδραση στο ρυθμό αύξησης ή μείωσης του αριθμού των κρουσμάτων στο χρόνο. Ένα κρίσιμο ερώτημα στις μέρες μας που απασχολεί τους ειδικούς είναι για πόσο χρονικό διάστημα θα πρέπει να διατηρηθεί το R0 σε πολύ χαμηλά επίπεδα πριν γίνει η άρση των προληπτικών παρεμβάσεων.

Το R0 καθορίζει, επίσης, το κρίσιμο ποσοστό ανοσίας σε ένα πληθυσμό. Όσο μεγαλύτερο το R0 τόσο υψηλότερο το ποσοστό ανοσίας που απαιτείται για την ανοσία αγέλης. Ενδεικτικά αναφέρεται ότι R0 για την ιλαρά που αποτελεί ένα από το πιο μολυσματικά λοιμώδη νοσήματα, είναι περίπου 12-18, για τους κορωνοϊούς SARs-CoV και MERS-CoV που προκάλεσαν επιδημίες στο πρόσφατο παρελθόν, το R0 είναι περίπου 3 και 0,3-0,8, αντίστοιχα. Για τον SARs-CoV-2, οι αρχικές εκτιμήσεις στην επιδημία της Κίνας ανέφεραν R0 περίπου 2,5. Για την εποχική γρίπη το R0 εκτιμάται σε 1,4 ενώ είναι υψηλότερο (~1,8) σε περιόδους πανδημίας.Βάση των παραπάνω τα ποσοστά για ανοσία αγέλης είναι τα υψηλότερα για την ιλαρά (92%-94%), ενώ για τον SARS-CoV-2 της τρέχουσας πανδημίας τα ποσοστά είναι μεταξύ 60% και 70%.

Μια άλλη σημαντική εφαρμογή αυτών των μεθόδων είναι στην εκτίμηση της αποτελεσματικότητας των προληπτικών παρεμβάσεων. Μέχρι σήμερα εκτιμήθηκε σε πολλές χώρες ότι στην τρέχουσα πανδημία προληπτικές παρεμβάσεις που περιλαμβάνουν περιορισμό μετακινήσεων και επαγγελματικής δραστηριότητας, μέτρα κοινωνικής αποστασιοποίησης, και περιορισμό διεθνών μετακινήσεων, οδήγησε σε σημαντικό περιορισμό του ρυθμού μεταδόσεων του SARS-CoV-2.

Αυτή η πληροφορία είναι μεγάλης σημασίας για τη δημόσια υγεία. Τα μαθηματικά μοντέλα μας επιτρέπουν να εκτιμούμε αν μια παρέμβαση είναι αποτελεσματική ή μη και ανάλογα να τροποποιηθούμε τις προληπτικές παρεμβάσεις και συνεπώς αποτελούν μια πολύτιμη μέθοδο για τη δημόσια υγεία.

Μια σημαντική πρόκληση για το μέλλον είναι να εφαρμοστούν προληπτικά μέτρα που μπορούν να περιορίσουν σημαντικά το ρυθμό μετάδοσης του λοιμογόνου νοσήματος, χωρίς να προκαλούν σημαντικές οικονομικές και κοινωνικές επιπτώσεις.